Bài 1 trang 18 toán 12

Hướng dẫn giải bài xích §2. Rất trị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài bác giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập giải tích tất cả trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 18 toán 12

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) liên tiếp trên khoảng $(a;b)$ với điểm (x_0in(a;b)):

– Hàm số (f(x)) đạt cực to tại (x_0) nếu

(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)

– Hàm số (f(x)) đạt cực tiểu trên x0 nếu

(f(x_0)0).

2. Điều kiện yêu cầu và đk đủ để hàm số gồm cực trị

a) Điều kiện bắt buộc để hàm số gồm cực trị

(f(x)) đạt rất trị trên (x_0), tất cả đạo hàm tại (x_0) thì (f"(x_0)=0).

b) Điều khiếu nại đủ để hàm số tất cả cực trị

♦ Định lí 1.

Cho hàm số y = f(x) thường xuyên trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và bao gồm đạo hàm bên trên K hoặc bên trên K (setminus) x0 .

– ví như (left{ matrix{f’left( x ight) > 0|forall left( x_0 – h;,,x_0 ight) hfill cr f’left( x ight) 0 là điểm cực lớn của hàm số

– giả dụ (left{ matrixf’left( x ight) 0 ight.) thì x0 là vấn đề cực tè của hàm số

♦ Định lí 2.

Cho hàm số y = f(x) gồm đạo hàm cấp hai trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).

– nếu như f"(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là vấn đề cực tè của hàm số f.

– nếu như f"(x0) = 0, f”(x0) 0 là điểm cực đại của hàm số f.

3. Quy tắc tìm cực trị

a) quy tắc $I$

– tìm tập xác định.

– Tính f"(x). Tìm những điểm tại đó f"(x) bằng 0 hoặc f"(x) không xác định.

– Lập bảng biến hóa thiên.

– trường đoản cú bảng đổi thay thiên suy ra những điểm rất trị.

b) luật lệ $II$

– tìm tập xác định.

– Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.

– Tính f”(x) với f”(xi)

– nếu như f”(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu. Nếu f”(xi) i là điểm rất đại.

Chú ý: trường hợp (f”(x_i)=0) thì ta nên dùng luật lệ I nhằm xét rất trị tại.

Dưới đấy là phần phía dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài bác tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 13 sgk Giải tích 12

Dựa vào đồ gia dụng thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra những điểm tại kia mỗi hàm số sau có mức giá trị lớn số 1 (nhỏ nhất):

*

Trả lời:

a) Từ thiết bị thị hàm số ta thấy: tại (x = 0) hàm số có mức giá trị lớn nhất bằng (1).

Xét lốt đạo hàm:

*

b) Từ đồ vật thị hàm số ta thấy:

Tại (x = 1) hàm số có mức giá trị lớn nhất bằng (displaystyle 4 over 3)

Tại (x = 3) hàm số có giá trị bé dại nhất bởi (0).

Xét vệt đạo hàm:

*

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 14 sgk Giải tích 12

Giả sử f(x) đạt cực to tại (x_0). Hãy chứng tỏ khẳng định 3 trong chăm chú trên bằng cách xét giới hạn tỉ số (f(x_0 + Delta x) – ,f(x_0) over Delta x) lúc $Δx → 0$ trong nhị trường phù hợp $Δx > 0$ cùng $Δx 0$ ta có:

(mathop lim limits_Delta x o 0^ + dfracfleft( x_0 + Delta x ight) – fleft( x_0 ight)Delta x = 0 = f’left( x_0^ + ight))

– với $Δx

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 14 sgk Giải tích 12

a) áp dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số dưới đây có rất trị tuyệt không.

$y = -2x + 1;$

(y = x(x – 3)^2 over 3,,,(H.8))

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị với dấu của đạo hàm.

*

Trả lời:

a) Hàm số $y = -2x + 1$ không có cực trị.

Hàm số (y = x(x – 3)^2 over 3) đạt cực lớn tại $x = 1$ và đạt rất tiểu trên $x = 3$.

b) giả dụ hàm số tất cả cực trị thì lốt của đạo hàm phía bên trái và bên buộc phải điểm cực trị vẫn khác nhau.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 16 sgk Giải tích 12

Chứng minh hàm số $y = |x|$ không tồn tại đạo hàm trên $x = 0$. Hàm số bao gồm đạt rất trị tại đặc điểm đó không?

Trả lời:

Ta có:

(y = ,|x|, = left{ matrix{x;,,x ge 0 hfill cr– x;,,x 1;,,x ge 0 hfill cr– 1;,,x

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 16 sgk Giải tích 12

Áp dụng nguyên tắc $I$, hãy tìm những điểm rất trị của hàm số (f(x) = x(x^2 – 3)).

Trả lời:

TXĐ: $D = R$

$f’(x) = 3x^2 – 3$. Mang đến $f’(x) = 0 ⇔ x = 1$ hoặc $x = -1$.

Ta bao gồm bảng biến hóa thiên:

*

Vậy:

– Hàm số đạt cực lớn tại $x = -1$ với giá trị cực đại là $2$

– Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 1$ và quý giá cực tiểu là $-2$.

Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12. Chúng ta hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

daycapdien.store ra mắt với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài xích giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 của bài §2. Rất trị của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12

1. Giải bài xích 1 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng phép tắc $I$, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau:

a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10).

b) (y = x^4+ 2x^2 – 3).

c) (y = x + frac1x).

d) (y = x^3(1 – x)^2).

e) (y = sqrt x^2-x+1).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Ta gồm đạo hàm: (y’ = 6x^2 + 6x – 36)

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 2\ x = – 3 endarray ight.)

Với $x=2$ ta gồm $y=-54$.

Với $x=-3$ ta gồm $y=71$.

– Bảng vươn lên là thiên:

*

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$, giá chỉ trị cực đại $y_cđ = y(-3) = 71.$

Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 2$, cực hiếm cực tiểu $y_ct= y(2) =- 54.$

b) Xét hàm số (y = x^4+ 2x^2 – 3)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1))

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0)

Với $x=0$ ta có $y=-3$.

– Bảng biến hóa thiên của hàm số:

*

Hàm số đạt rất tiểu trên $x=0$, giá trị cực tè $y_ct= y(0)=- 3.$

Hàm số không tồn tại cực đại.

c) Xét hàm số (y = x + frac1x)

– Tập xác định: (D = mathbbRackslash left 0 ight\)

– Đạo hàm:

(y’=1-frac1x^2=fracx^2-1x^2=frac(x-1)(x+1)x^2)

(y’ = 0 Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)

Với $x = 1$ ta tất cả $y = 2.$

Với $x = -1$ ta có $y = -2.$

– Bảng thay đổi thiên:

*

Hàm số đạt cực to tại $x=-1$, giá trị cực đại $y_cđ = y(-1) = -2.$

Hàm số đạt cực tiểu trên $x = 1$, quý giá cực đái $y_ct = y(1) = 2.$

d) Xét hàm số (y = x^3(1 – x)^2)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

Xem thêm: Sửa Lỗi Không Vào Được Facebook, 11 Cách Trên Máy Tính Và Điện Thoại

– Đạo hàm: (y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x))

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = frac35\ x = 0 endarray ight.)

Với (x=1) ta gồm (y=0.)

Với (x=frac35) ta bao gồm (y=frac1083125.)

Với x=0 ta có (y=0.)

– Bảng biến thiên:

*

Hàm số đạt cực đại tại (x=frac35,) giá trị cực đại (y_cđ =yleft ( frac35 ight )frac1083125.)

Hàm số đạt cực tiểu trên (x=1,) quý hiếm cực đái (y_ct=y(1)=0.)

e) Xét hàm số (y = sqrt x^2-x+1)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 )

(y’ = 0 Leftrightarrow 2x – 1 = 0 Leftrightarrow x = frac12)

Với (x=frac12) ta gồm (y=fracsqrt 32).

– Bảng thay đổi thiên:

*

Vậy hàm số đạt rất tiểu tại (x=frac12), quý giá cực đái (y_ct=yleft ( frac12 ight )=fracsqrt 32.)

2. Giải bài bác 2 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng nguyên tắc II, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau:

a) (y = x^4 – 2x^2 + 1).

b) (y=sin 2x – x).

c) (y = sinx + cosx).

d) (y = x^5 – x^3 – 2x + 1).

Bài giải:

a) Hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 1).

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 – m 1)) ;

(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).

( y” = 12x^2-4).

(y”(0) = -4 CĐ = ( y(0) = 1).

(y”(pm 1) = 8 > 0) yêu cầu hàm số đạt cực tiểu tại (x = pm1),

(y)CT = (y(pm1)) = 0.

b) Hàm số (y=sin 2x – x)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y’ = 2cos2x – 1) ;

(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)

(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)

(y” = -4sin2x) .

(y”left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3CĐ = ( sin(fracpi 3+ k2π) – fracpi 6 – kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).

(y”left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) phải hàm số đạt rất tiểu tại các điểm (x =-fracpi 6+ kπ),

(y)CT = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 – kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 – kπ) , (k ∈mathbb Z).

c) Hàm số (y = sinx + cosx)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y = sinx + cosx = sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));

( y’ =sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;

(y’=0 Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)

(y”=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)

(y”left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))

(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))

(=left{ matrix– sqrt 2 ext ví như k chẵn hfill crsqrt 2 ext nếu k lẻ hfill cr ight.)

Do đó hàm số đạt cực to tại các điểm (x=fracpi 4+k2pi), đạt rất tiểu tại những điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)

d) Hàm số (y = x^5 – x^3 – 2x + 1)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = m 5x^4 – m 3x^2 – m 2 m = m (x^2 – m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 – m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).

(y” m = m 20x^3 – m 6x).

(y”(1) = 14 > 0) phải hàm số đạt rất tiểu trên (x = 1),

(y)CT = ( y(1) = -1).

(y”(-1) = -14 CĐ = (y(-1) = 3).

3. Giải bài xích 3 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrtleft ) không có đạo hàm trên (x = 0) mà lại vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Bài giải:

– chứng tỏ hàm số không có đạo hàm trên điểm (x=0):

(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt left = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ + fracsqrt x x = mathop lim limits_x o 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x x = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lim limits_x o 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)

(Rightarrow) ko tồn tại đạo hàm của hàm số đã mang đến tại (x = 0).

– minh chứng hàm số đạt cực tiểu tại (x=0) :

Với (h>0) là một trong những thực bất kỳ ta có:

(eginarraylfleft( x ight) = sqrt left ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)

Theo khái niệm điểm cực trị của hàm số ta tóm lại (x=0) là vấn đề cực tè của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt ).

4. Giải bài bác 4 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng với tất cả giá trị của tham số m, hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1) luôn luôn tất cả một điểm cực to và một điểm rất tiểu.

Bài giải:

Xét hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1)

– Tập xác định (D=mathbbR.)

– Đạo hàm:

(y’ = 3x^2 – 2mx – 2), (Delta ‘_y’ = m^2 + 6 > 0,forall m) bắt buộc phương trình $y’=0$ luôn luôn có hai nghiệm riêng biệt và $y’$ đổi vết khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực lớn và một rất tiểu.

5. Giải bài bác 5 trang 18 sgk Giải tích 12

Tìm (a) với (b) để những cực trị của hàm số

(y=frac53a^2x^3+2ax^2-9x+b)

đều là đa số số dương cùng (x_0=-frac59) là vấn đề cực đại.

Bài giải:

♦ TH1: (a = 0) hàm số thay đổi (y = -9x + b).

TXĐ: $D = R$.

Trường phù hợp này hàm số tất cả (a=-1 0\Leftrightarrow frac53.left( – frac95 ight)^2 + 2.left( – frac95 ight) – 9 + b > 0Leftrightarrow b > frac365endarray)

Với (a > 0) ta bao gồm (frac1a > frac – 95a) ta tất cả bảng trở nên thiên :

*

Từ BBT ta gồm (x_CĐ=frac-95a).

Vì (x_0=-frac59) là điểm cực đại nên (-frac95a=-frac59Leftrightarrow a=frac8125) ™. Theo yêu cầu việc thì: (y_(ct)=yleft ( frac1a ight )=yleft ( frac2581 ight )>0)

(Leftrightarrow frac53cdot left ( frac8125 ight )^2left ( frac2581 ight )^3+2.frac8125cdot left ( frac2581 ight )^2-9cdot frac2581+b>0)

(Leftrightarrow b>frac400243.)

Vậy các giá trị (a, b) bắt buộc tìm là: (left{eginmatrix a=-frac95 và \ b>frac365 & endmatrix ight.) hoặc (left{eginmatrix a=frac8125 và \ b>frac400243 và endmatrix ight.).

6. Giải bài 6 trang 18 sgk Giải tích 12

Xác định giá trị của thông số (m) để hàm số (y=fracx^2+mx+1x+m) đạt cực to tại (x = 2).

Bài giải:

Tập xác minh : (D=mathbbRsetminus left -m ight ;)

Ta có:

(eginarrayly’ = fracleft( 2x + m ight)left( x + m ight) – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = frac2x^2 + 2mx + mx + m^2 – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = fracx^2 + 2mx + m^2 – 1left( x + m ight)^2endarray)

Hàm số đạt cực lớn tại (x = 2Rightarrow y"(2) = 0) (⇔ m^2 + m 4m m + m 3 m = m 0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)

♦ với (m = -1), ta tất cả : (y=fracx^2-x+1x-1;)

TXĐ: (Rackslash left 1 ight\)

(y’=fracx^2-2x(x-1)^2; y’=0Leftrightarrow left{eginmatrix x^2 -2x=0& \ x eq 1 & endmatrix ight.)

(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).

Ta tất cả bảng biến đổi thiên :

*

Trường thích hợp này ta thấy hàm số ko đạt cực to tại (x = 2).

♦ với (m = -3), ta có: (y=fracx^2-3x+1x-3;)

TXĐ: (D = Rackslash left 3 ight\)

(y’ = fracx^2 – 6x + 8left( x – 3 ight)^2;,,y’ = 0 Leftrightarrow left<eginarraylx = 2\x = 4endarray ight.)

Ta có bảng biến thiên :

*

Trường đúng theo này ta thấy hàm số đạt cực đại tại (x = 2).

Vậy (m = -3) là giá trị đề xuất tìm.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12!